数据结构中对于时间复杂度的初步了解

首先先了解几个概念
时间复杂度
(1)时间频度 一个算法执行所耗费的时间,从理论上是不能算出来的,必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试,只需知道哪个算法花费的时间多,哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
(2)时间复杂度 在刚才提到的时间频度中,n称为问题的规模,当n不断变化时,时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此,我们引入时间复杂度概念。 一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。
在各种不同算法中,若算法中语句执行次数为一个常数,则时间复杂度为O(1),另外,在时间频度不相同时,时间复杂度有可能相同,如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同,但时间复杂度相同,都为O(n2)。 按数量级递增排列,常见的时间复杂度有:常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2),立方阶O(n3),…, k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低。

(3)渐进时间复杂度评价算法时间性能   主要用算法时间复杂度的数量级(即算法的渐近时间复杂度)评价一个算法的时间性能。

基本的计算步骤

一般情况下,算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 ),简称时间复杂度。

根据定义,可以归纳出基本的计算步骤
1. 计算出基本操作的执行次数T(n)
基本操作(算法中的每条语句)的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时,一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级
求T(n)的数量级,只要将T(n)进行如下一些操作:
忽略常量、低次幂和最高次幂的系数

令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度
当n趋近于无穷大时,如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

 

一个示例:

 

for(; i<n; i++)             //频度为n

{

num1 += 1;         //频度为n
j = 1;                   //频度为n

for(; j<=n; j*=2)   //频度为n*log2n

{

num2 += num1;          //频度为n*log2n
}
}

分析:
1. T(n) =  3n + 2n*log2n

2.忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数
f(n) = n*log2n

3.lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3

当n趋向于无穷大,1/n趋向于0,1/log2n趋向于0
所以极限等于3。

T(n) = O(n*log2n)

简化的计算步骤

再来分析一下,可以看出,决定算法复杂度的是执行次数最多的语句,这里是num2 += num1,一般也是最内循环的语句。

并且,通常将求解极限是否为常量也省略掉?

于是,以上步骤可以简化为:
1. 找到执行次数最多的语句
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果

继续以上述算法为例,进行分析:
1.
执行次数最多的语句为num2 += num1

2.
T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n

3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)

 

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一些补充说明
最坏时间复杂度
算法的时间复杂度不仅与语句频度有关,还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级
即求对数值(log),默认底数为10,简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后,10的指数”。例如,5000=5×10 3 (log5000=3) ,数量级为3。另外,一个未知数的数量级为其最接近的数量级,即最大可能的数量级。

求极限的技巧
要利用好1/n。当n趋于无穷大时,1/n趋向于0

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一些规则(引自:时间复杂度计算 )
1) 加法规则
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )

2) 乘法规则
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

3) 一个特例(问题规模为常量的时间复杂度)
在大O表示法里面有一个特例,如果T1(n) = O(c), c是一个与n无关的任意常数,T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )

也就是说,在大O表示法中,任何非0正常数都属于同一数量级,记为O(1)。

4) 一个经验规则
复杂度与时间效率的关系:
c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! (c是一个常量)
|————————–|————————–|————-|
较好                     一般              较差
其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意。

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复杂情况的分析

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析,但实际上还可能有其他的情况,下面将例举说明。

1.并列循环的复杂度分析
将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

例如:

for (i=1; i<=n; i++)
x++;

for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;

解:
第一个for循环
T(n) = n
f(n) = n
时间复杂度为Ο(n)

第二个for循环
T(n) = n2
f(n) = n2
时间复杂度为Ο(n2)

整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。

2.函数调用的复杂度分析
例如:
public void printsum(int count){
int sum = 1;
for(int i= 0; i<n; i++){
sum += i;
}
System.out.print(sum);
}

分析:
记住,只有可运行的语句才会增加时间复杂度,因此,上面方法里的内容除了循环之外,其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2,对算法进行优化,改为:
public void printsum(int count){
int sum = 1;
sum = count * (count+1)/2;
System.out.print(sum);
}
这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1),大大地提高了算法的性能。

3.混合情况(多个方法调用与循环)的复杂度分析
例如:
public void suixiangMethod(int n){
printsum(n);//1.1
for(int i= 0; i<n; i++){
printsum(n); //1.2
}
for(int i= 0; i<n; i++){
for(int k=0; k
System.out.print(i,k); //1.3
}
}
suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) —-> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)

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更多的例子

O(1)
交换i和j的内容
temp=i;
i=j;
j=temp;

以上三条单个语句的频度为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶,记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n2)
sum=0;                /* 执行次数1 */
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
sum++;       /* 执行次数n2 */
解:T(n) = 1 + n2 = O(n2)

for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1;        ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++;        ②
}
解:  语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
f(n) = n2
lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
T(n) = O(n2).

O(n)
a=0;
b=1;                     ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b;    ③
b=a;     ④
a=s;     ⑤
}
解:  语句1的频度:2,
语句2的频度:n,
语句3的频度:n,
语句4的频度:n,
语句5的频度:n,
T(n) = 2+4n
f(n) = n
lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
T(n) = O(n).

O(log2n)
i=1;       ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解: 语句1的频度是1,
设语句2的频度是t,  则:nt<=n;  t<=log2n
考虑最坏情况,取最大值t=log2n,
T(n) = 1 + log2n
f(n) = log2n
lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
T(n) = O(log2n)

O(n3)
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解:当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,…,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+…+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+…+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2
f(n) = n3
所以时间复杂度为O(n3)。

作者:u010927811 发表于2013-9-4 20:45:23 原文链接
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